Szilassi Polyhedron Szilassi-Polyeder
The toroidal polyhedron where every pair of faces shares an edge Das toroidale Polyeder, bei dem jedes Paar von Flächen eine gemeinsame Kante hat
The Szilassi polyhedron, discovered by Lajos Szilassi in 1977, is a toroidal (donut-shaped) polyhedron with 7 faces, 21 edges, and 14 vertices. What makes it truly remarkable is that every pair of its 7 faces shares at least one edge — a property shared only with the tetrahedron among orientable polyhedra.
This property is intimately related to the map-colouring problem on the torus. While the planar four-colour theorem says four colours suffice to colour any map on a sphere, the analogous result for the torus is 7 (the Heawood conjecture / Ringel–Youngs theorem). The Szilassi polyhedron gives a concrete 3D realisation of a map that actually requires all 7 colours.
Each of the 7 hexagonal faces of the model is printed in a distinct colour, demonstrating that no two adjacent faces share a colour — and that no fewer than 7 colours would suffice.
Das Szilassi-Polyeder, entdeckt von Lajos Szilassi im Jahr 1977, ist ein toroidales (ringförmiges) Polyeder mit 7 Flächen, 21 Kanten und 14 Eckpunkten. Was es wirklich bemerkenswert macht, ist die Tatsache, dass jedes Paar seiner 7 Flächen mindestens eine gemeinsame Kante teilt — eine Eigenschaft, die unter orientierbaren Polyedern nur mit dem Tetraeder geteilt wird.
Diese Eigenschaft hängt eng mit dem Kartenfärbungsproblem auf dem Torus zusammen. Während der planare Vier-Farben-Satz besagt, dass vier Farben ausreichen, um jede Karte auf einer Kugel zu färben, lautet das analoge Ergebnis für den Torus 7 (die Heawood-Vermutung / Ringel–Youngs-Satz). Das Szilassi-Polyeder liefert eine konkrete dreidimensionale Realisierung einer Karte, die tatsächlich alle 7 Farben benötigt.
Jede der 7 sechseckigen Flächen des Modells ist in einer anderen Farbe gedruckt, was zeigt, dass keine zwei benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben — und dass weniger als 7 Farben nicht ausreichen würden.
Properties Eigenschaften
- Faces Flächen
- 7
- Edges Kanten
- 21
- Vertices Eckpunkte
- 14
- Euler characteristic Euler-Charakteristik
- 0 (toroidal)
- Face shape Flächenform
- Hexagons (irregular)
- Chromatic number Chromatische Zahl
- 7
Further Reading Weiterführende Literatur
- Szilassi, L. (1986). Regular toroids. Structural Topology, 13, 69–80.
- Szilassi polyhedron — Wikipedia
- Heawood conjecture — Wikipedia